Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 75 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các...

Bài 75 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các phương trình...

Giải các phương trình. Bài 75 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao – Bài 8. Hệ phương trình mũ và lôgarit

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 75 

\(\eqalign{
& a)\,{\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 12; \cr 
& c)\,5\sqrt {{{\log }_2}\left( { – x} \right)} = {\log _2}\sqrt {{x^2}} ; \cr} \)   

\(\eqalign{
& b)\,{\log _{x – 1}}4 = 1 + {\log _2}\left( {x – 1} \right); \cr
& d)\,{3^{{{\log }_4} + {1 \over 2}}} + \,{3^{{{\log }_4} – {1 \over 2}}} = \sqrt x . \cr} \)                               

a) Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có: \(lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right).lo{g_3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 12\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right).lo{g_3}3\left( {{3^x} – 1} \right) = 12 \cr
& \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right)\left[ {1 + lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = 12 \cr} \)

 \( \Leftrightarrow \log _3^2\left( {{3^x} – 1} \right) + lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) – 12 = 0\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = – 4 \hfill \cr
lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^x} – 1 = {1 \over {81}} \hfill \cr
{3^x} – 1 = {3^3} = 27 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^x} = {{82} \over {81}} \hfill \cr
{3^x} = 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\log _3}{{82} \over {81}} \hfill \cr
x = {\log _3}28 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_3}28;{{\log }_3}82 – 4} \right\}\)

b) Điều kiện: \(x > 1\); \(x \ne 2\)

Ta có: \({\log _{x – 1}}4 = {1 \over {{{\log }_4}\left( {x – 1} \right)}} = {2 \over {{{\log }_2}\left( {x – 1} \right)}}\). Đặt \(t = {\log _2}\left( {x – 1} \right)\)

Ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {2 \over t} = 1 + t \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left( {x – 1} \right) = 1 \hfill \cr
{\log _2}\left( {x – 1} \right) = – 2 \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = {5 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {3;{5 \over 4}} \right\}\)

c) Điều kiện: \({\log _2}\left( { – x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow  – x \ge 1 \Leftrightarrow x \le  – 1\)

    \(5\sqrt {{{\log }_2}\left( { – x} \right)}  = {\log _2}\sqrt {{x^2}}  \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\log }_2}\left( { – x} \right)}  = {\log _2}\left( { – x} \right)\)    

 \( \Leftrightarrow 5\sqrt t  = t\) với \(t = {\log _2}\left( { – x} \right) \ge 0\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 25t = {t^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left( { – x} \right) = 0 \hfill \cr
lo{g_2}\left( { – x} \right) = 25 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = – {2^{25}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { – 1; – {2^{25}}} \right\}\)

d) Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có: \(\sqrt x  = \sqrt {{4^{{{\log }_4}x}}}  = {2^{{{\log }_4}x}}\)

Do đó \({3^{{1 \over 2} + {{\log }_4}x}} + {3^{{{\log }_4}x – {1 \over 2}}} = \sqrt x  \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right){3^{{{\log }_4}x}} = {2^{{{\log }_4}x}}\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {4 \over {\sqrt 3 }} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{{\log }_4}x}} \Leftrightarrow {\log _4}x = {\log _{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }} \cr
& \Leftrightarrow x = {4^{{{\log }_{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }}}} \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{4^{{{\log }_{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }}}}} \right\}\)