Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;
b) KI là tia phân giác của góc EKD.
- Chứng minh: giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
- Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.
KA là đường phân giác của góc EKD.
Suy ra: KI là tia phân giác của góc EKD.
a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).
Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại A).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\)
• Xét ∆ABD và ∆ACE có:
\(\widehat {BAC}\) là góc chung,
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).
Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).
• Xét ∆ABK và ∆ACK có:
AB = AC (chứng minh trên),
AK là cạnh chung,
BK = CK (do K là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (hai góc tương ứng).
Hay \(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\).
• Xét ∆AEK và ∆ADK có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\) (chứng minh trên),
AK là cạnh chung.
Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AKE} = \widehat {AKD}\) (hai góc tương ứng)
Nên KA là đường phân giác của góc EKD.
Mặt khác do \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) nên AK là tia phân giác của góc BAC.
Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC
Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.
Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.
Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.