Bài 4.44 trang 69 SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên...

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a)$\Delta ABD$ vuông tại B.

b)$\Delta ABD = \Delta BAC$

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

a)Chứng minh:$\Delta AMC = \Delta DMB\left( {c - g - c} \right)$

b)Dựa vào ý a suy ra BD = CA

c)

-Chứng minh: $\widehat {BDA} = \widehat {CAD}\left( {AC\parallel BD} \right)$

-Chứng minh các góc ở đáy bằng nhau.

a)

Xét $\Delta AMC$và $\Delta DMB$ có

MA = MD

MC = MB

$\widehat {AMC} = \widehat {DMB}$(2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AMC = \Delta DMB\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {MCA}$ ( 2 góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat {ABD} = \widehat {ABM} + \widehat {DBM} = \widehat {ABC} + \widehat {BCA} = {90^0}$

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BAC$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {ABD} = \widehat {BAC} = {90^0}\\BD = CA\left( {do\,\Delta AMC = \Delta DMB} \right)\end{array}$

AB: Cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\left( {c - g - c} \right)$

c)

Ta có: $\Delta ABD = \Delta BAC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BDA}$ ( 2 góc tương ứng)

Mặt khác: $AC//BD$(vì cùng vuông góc với AB) nên $\widehat {BDA} = \widehat {CAD}$(2 góc so le trong)

Vì vậy ta có: $\widehat {MCA} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {CAM}$

Do đó tam giác AMC cân tại đỉnh M nên MA = MC

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC

$\Rightarrow MA=MB$

Do đó tam giác AMB cân tại đỉnh M.