Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến a) Chứng minh rằng BM = CN...

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC

- Ta chứng minh 2 tam giác bằng nhau để từ đó chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau

- Ta chứng minh I là trọng tâm tam giác ABC và chứng minh AH là trung tuyến của tam giác ABC và H là trung điểm của BC

a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.

Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM$

Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :

AM = AN (cmt)

AB = AC

Góc A chung

$\Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC$

$\Rightarrow BM = CN$ ( 2 cạnh tương ứng )

b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến

Mà I là giao điểm của BM và CN

$\Rightarrow$ I là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow$ AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow$ H là trung điểm của BC