Cho hai đa thức P = -5x4 + 3x3 + 7x2 + x - 3 và Q = 5x4 - 4x3 - x2 + 3x + 3.
a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P - Q.
b) Tính giá trị của mỗi đa thức P + Q và P - Q tại x = 1; x = -1.
c) Đa thức nào trong hai đa thức P + Q và P - Q có nghiệm là x = 0?
a) P + Q = (-5x4 + 3x3 + 7x2 + x - 3) + (5x4 - 4x3 - x2 + 3x + 3)
P + Q = -5x4 + 3x3 + 7x2 + x - 3 + 5x4 - 4x3 - x2 + 3x + 3
P + Q = (-5x4 + 5x4) + (3x3 - 4x3) + (7x2 - x2) + (x + 3x) + (-3 + 3)
P + Q = -x3 + 6x2 + 4x.
Hạng tử có bậc cao nhất của đa thức P + Q là -x3 nên bậc của đa thức P + Q là 3.
P - Q = (-5x4 + 3x3 + 7x2 + x - 3) - (5x4 - 4x3 - x2 + 3x + 3)
P - Q = -5x4 + 3x3 + 7x2 + x - 3 - 5x4 + 4x3 + x2 - 3x - 3
P - Q = (-5x4 - 5x4) + (3x3 + 4x3) + (7x2 + x2) + (x - 3x) + (-3 - 3)
P - Q = -10x4 + 7x3 + 8x2 + (-2x) + (-6)
P - Q = -10x4 + 7x3 + 8x2 - 2x - 6
Hạng tử có bậc cao nhất của đa thức P - Q là -10x4 nên bậc của đa thức P - Q là 4.
b) Thay x = 1 vào đa thức P + Q ta có:
P + Q = -13 + 6.12 + 4.1 = -1 + 6 + 4 = 9.
Thay x = -1 vào đa thức P + Q ta có:
P + Q = -(-1)3 + 6.(-1)2 + 4.(-1) = -(-1) + 6.1 + (-4) = 1 + 6 - 4 = 3.
Thay x = 1 vào đa thức P - Q ta có:
P - Q = -10.14 + 7.13 + 8.12 - 2.1 - 6 = -10 + 7 + 8 - 2 - 6 = -3.
Thay x = -1 vào đa thức P - Q ta có:
P - Q = -10.(-1)4 + 7.(-1)3 + 8.(-1)2 - 2.(-1) - 6
P - Q = -10 + 7.(-1) + 8 - (-2) - 6
P - Q = -10 + (-7) + 8 + 2 - 6
P - Q = -13.
c) Thay x = 0 vào đa thức P + Q ta có:
P + Q = -03 + 6.02 + 4.0 = 0.
Thay x = 0 vào đa thức P - Q ta có:
P - Q = -10.04 + 7.03 + 8.02 - 2.0 - 6 = -6.
Ta thấy đa thức P + Q = 0 khi x = 0, P - Q = -6 khi x = 0.
Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức P + Q.