Bài 6 trang 48 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM $\left( {M \in BC} \right)$...

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM $\left( {M \in BC} \right)$. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại E.

a) Chứng minh DE//BC.

b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh I là trung điểm của DE.

Sử dụng kiến thức về tính chất của đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

a) Vì MD là phân giác góc AMB trong tam giác ABM nên: $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}$

Vì ME là phân giác góc AMC trong tam giác AMC nên: $\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MB}}$

Do đó, $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$.

Tam giác ABC có: $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$, suy ra DE//BC (định lí Thalès đảo).

b) Tam giác ABM có DI//BM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{{DI}}{{MB}} = \frac{{AI}}{{AM}}$

Tam giác ACM có EI//CM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{{EI}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}$

Do đó: $\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IE}}{{MC}}$

Mà $MB = MC$ nên $ID = IE$

Vậy I là trung điểm của DE.