Bài 8 trang 25 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Tính: $\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)$; \(\left( {\frac{x}{{x + 1}}...

Tính:

a) $\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)$;

b) $\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để tính: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}$

+ Sử dụng kiến thức chia hai phân thức để tính: Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ (C khác đa thức không), ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}$: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}$

a) $\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right) = \frac{{x - y + 2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}.\frac{{x\left( {x + y} \right) - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$

$= \frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}.\frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}} = \frac{{\left( {x + y} \right)y\left( {x - y} \right)}}{{y\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = 1$

b) $\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) = \frac{{x + x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - {x^2} - 3{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{1 - 4{x^2}}}$

$= \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{2x - 1}}$