Bài 6.38 trang 15 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Biết $x + y + z = 0$ và $x, y \ne 0.$ Chứng minh phân thức \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}...

Biết $x + y + z = 0$ và $x,y \ne 0.$ Chứng minh phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ có giá trị không đổi

Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để rút gọn phân thức:

+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn

+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Vì $x + y + z = 0$ nên $z = - \left( {x + y} \right)$

Do đó, ${x^2} + {y^2} - {z^2} = {x^2} + {y^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - {x^2} - {y^2} - 2xy = - 2xy$

Khi đó, $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ có giá trị không đổi với $x + y + z = 0$ và $x,y \ne 0.$