Bài 3 trang 82 Toán 8 – Cánh diều: Cho Hình 76, biết $AB = 4, \, \, BC = 3, \, \, BE = 2, \, \, BD = 6$. Chứng minh...

Cho Hình 76, biết $AB = 4,\,\,BC = 3,\,\,BE = 2,\,\,BD = 6$. Chứng minh:

a) $\Delta ABD \backsim \Delta EBC$

b) $\widehat {DAB} = \widehat {DEG}$

c) Tam giác DGE vuông

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp đồng dạng thứ hai.

b) Từ hai tam giác đồng dạng đã chứng minh ở câu a suy ra các cặp góc bằng nhau.

c) Chứng minh $\widehat {DGE} = 90^\circ$

a) Ta có: $\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{4}{2} = 2;\,\,\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{6}{3} = 2$

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}$

Xét tam giác ABD và tam giác EBC có:

$\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}$ và $\widehat {ABD} = \widehat {EBC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta EBC$ (c-g-c).

b) Vì $\Delta ABD \backsim \Delta EBC$ nên $\widehat {DAB} = \widehat {CEB}$

Mà $\widehat {DEG} = \widehat {CEB}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat {DAB} = \widehat {DEG}$.

c) Vì $\Delta ABD \backsim \Delta EBC$ nên $\widehat {ADB} = \widehat {ECB}$ hay $\widehat {GDE} = \widehat {ECB}$

Vì tam giác EBC vuông tại B nên ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {ECB} + \widehat {CEB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {GDE} + \widehat {DEG} = 90^\circ \end{array}$

Mà trong tam giác DEG có:

$\begin{array}{l}\widehat {GDE} + \widehat {DEG} + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {DGE} = 90^\circ \end{array}$

$\Rightarrow$Tam giác DGE vuông tại G.