Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Sử dụng định lý đường trung bình và dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật để chứng minh bài toán
Vì M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH nên ta có:
MN là đường trung bình tam giác ABH \( \Rightarrow MN//AH\) mà \(AH \bot BC\) nên \(MN \bot BC\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH, AC nên ta có:
PQ là đường trung bình tam giác AHC \( \Rightarrow PQ//AH\) mà \(AH \bot BC\) nên \(QP \bot BC\) (2)
Vì P, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH, BH nên ta có:
PN là đường trung bình tam giác BHC \( \Rightarrow PN//BC\) mà \(AH \bot BC\) nên \(PN \bot AH\)(3)
Vì M, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC nên ta có:
MQ là đường trung bình tam giác ABC \( \Rightarrow MQ//BC\) mà \(AH \bot BC\) nên \(MQ \bot AH\)(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có \(\widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQM} = \widehat {QMN} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (dhnb).