Bài 6 trang 78 Toán 8 – Cánh diều: Cho các hình bình hành ABCD và BMNP như ở Hình 67. Chứng minh...

Cho các hình bình hành ABCD và BMNP như ở Hình 67. Chứng minh:

a) $\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}}$

b) $\Delta{MNP} \backsim \Delta{CBA}$

a) Dựa vào định lí Thales suy ra được các tỉ số bằng nhau.

b) Chứng minh MP // AC, suy ra các tỉ số bằng nhau của tam giác PBM và tam giác CBA

BMNP là hình bình hành suy ra các tỉ số bằng nhau của tam giác PBM và tam giác CBA

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

a) Vì ABCD và BMNP là hình bình hành nên $MN//BP$ và $AD//BC \Rightarrow MN//AD$

Xét tam giác ABD có $AD//MN \Rightarrow \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BN}}{{BD}}$ (1) (Định lý Thales)

Tương tự ta chứng minh được $NP//DC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BD}} = \frac{{BP}}{{BC}}$(2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}}$.

b) Ta có $\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}} \Rightarrow MP//AC$(Định lý Thales đảo)

$\Rightarrow \Delta PBM \backsim\Delta CBA$ (c-c-c) (3)

Vì BMNP là hình bình hành nên ta có $\frac{{PB}}{{MN}} = \frac{{BM}}{{NP}} = \frac{{MP}}{{PM}} = 1$

$\Rightarrow \Delta PBM \backsim\Delta MNP$ (c-c-c) (4)

Từ (3) và (4) ta có $\Delta MNP \backsim\Delta CBA$.