Giải mục 3 trang 28, 29, 30 Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?...

Hoạt động4

Xét các phân thức $P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$, $Q = \dfrac{x}{y}$, $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}$ .

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển $Q$ thành $P$ và $R$ thành $Q$.

a) Sử dụng kiến thức: $\dfrac{A}{B}$ $= \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$ để kiểm tra xem các phân thức trên có bằng nhau hay không?

b) Nhân hoặc cả tử và mẫu của đa thức $Q$ cho $xy$; chia cả tử và mẫu của đa thức của $R$ cho $x + y$

a) Ta có:

${x^2}y.y = {x^2}{y^2}$

$x{y^2}.x = {x^2}{y^2}$

Do đó${x^2}y.y = x{y^2}.x$

Vậy $P = Q$ (1)

Ta có:

$x.\left( {xy + {y^2}} \right) = {x^2}y + x{y^2}$

$y.\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^2}y + x{y^2}$

Do đó $x.\left( {xy + {y^2}} \right) = y.\left( {{x^2} + xy} \right)$

Vậy $Q = R$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P = Q = R$

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q$ với $xy$ để chuyển $Q$ thành $P$, ta được: $Q = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x.xy}}{{y.xy}} = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$

Phân thức cả tử và mẫu của phân thức $R$ thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu của phân thức $R$ cho nhân tử chung $x + y$ để chuyển $R$ thành $Q$, ta được: $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{x}{y}$

Thực hành 4

Chứng tỏ hai phân thức $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}}$ và $\dfrac{{a - b}}{{ab}}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau.

Phân tích tử và mẫu của phân thức $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}}$ thành nhân tử để tìm nhân tử chung. Sau đó chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{{a - b}}{{ab}}$ với $a + b$

Cách 1: $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a - b}}{{ab}}$

Cách 2: $\dfrac{{a - b}}{{ab}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right).\left( {a + b} \right)}}{{ab.\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}}$

Vậy hai phân thức đã cho bằng nhau

Thực hành 5

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\dfrac{{3{x^2} + 6xy}}{{6{x^2}}}$

b) $\dfrac{{2{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 4}}$

c) $\dfrac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}}$

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để rút gọn phân thức

a) $\dfrac{{3{x^2} + 6xy}}{{6{x^2}}}$ $= \dfrac{{3x.\left( {x + 2y} \right)}}{{3x.2x}} = \dfrac{{x + 2y}}{{2x}}$

b) $\dfrac{{2{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 4}}$$= \dfrac{{{x^2}.\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{ - {x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{ - {x^2}}}{{x + 2}}$

c) $\dfrac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}}$ $= \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}}$