Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Chứng minh rằng AE = DF.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.
a. Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật, suy ra hai đường chéo AE = DF.
b. Chứng minh BDFE là hình bình hành, suy ra 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên I nằm giữa B và F suy ra B, I, F thẳng hàng.
Cách 1.
a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên ^BAC=90o hay AB ⊥ AC.
Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay ^ADE=90o.
Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay ^AEF=90o
Ta có: ^BAC+^ADE+^AFE+^DEF=360o
90°+90°+90o+^DEF = 360o 270°+ ^DEF=360°
Suy ra ^DEF=360°−270°=90o
Tứ giác ADEF có ^BAC=90o;^ADE=90o;^AEF=90o;^DEF=90o
Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy AE = DF (đpcm).
b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DF // BC hay DF // BE.
Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.
Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.
Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.
Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.
Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.
Cách 2.
a) Tam giác ABC vuông tại A, AE là tiếp tuyến (gt)
=> AE=12BC (1)
D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC (gt)
=> DF=12BC (2)
Từ (1) và (2) => AE = DF.
b) DF là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)
=> DF // BE (DF //BC) và DF = BE (DF = 12BC = BE).
=> Tứ giác BDFE là hình bình hành => DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
I là trung điểm của DE (gt) => I là trung điểm của BF => B, I, F thẳng hàng.