Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:
a) BDBC=ABAB+AC, từ đó suy ra AE=AB.ACAB+AC
b) ΔDFC ∽ ΔABC
c) DF=DB
Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh
a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC ⇒DBDC=ABAC⇒DB.AC=DC.AB(∗)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: BD.(AB+AC)=BD.AB+BD.AC=DB.AB+DC.AB=AB.(DB+DC)=AB.BC
⇒BD.(AB+AC)=AB.BC⇒BDBC=ABAB+AC(1)
ΔCED∽
\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{CB}}\\ \Rightarrow \frac{{AC - A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{{BC - B{\rm{D}}}}{{BC}} \Rightarrow 1 - \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = 1 - \frac{{DB}}{{BC}}\\ \Rightarrow \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{BC}}(2)\end{array}
Từ (1), (2) suy ra: \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}} \Rightarrow A{\rm{E}} = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}}
b)
\begin{array}{l}\Delta DFC \backsim \Delta ABC\\ \Rightarrow \frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow DF = \frac{{AB.DC}}{{AC}}(3)\end{array}
Từ (*) ta có: DB = \frac{{DC.AB}}{{AC}}(4)
Từ (3), (4) suy ra: DF = DB