Bài 5 trang 123 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)...

Cho biểu thức:

$P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):\left(1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\right)$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện ${x^2}{y^2} - 1 \ne 0$

a) Tính tổng $A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}$ và $B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}$

b) Từ kết quả câu a) hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức: $P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 - {x^2}}}$

d) Sử dụng câu c) hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1

Rút gọn phân thức theo quy tắc rút gọn

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{x + {x^2}y + y + x{y^2} + x - {x^2}y - y + x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2{\rm{x}} + 2{\rm{x}}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\end{array}$

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

$\begin{array}{l}P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{1 + {x^2}}}\left( * \right)\end{array}$

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

$1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}$.

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra P = $1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}$

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi $\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0$. Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 $\ne$ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² $\ne$ 1 (y $\ne \pm$1).

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 $\ne$ 0): $P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1$, hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0 $\Leftrightarrow$x = 1.