Câu hỏi/bài tập:
Chứng minh rằng nếu m và n nhận các giá trị nguyên tùy ý thì biểu thức
\(K = \left( {5m + 1} \right)\left( {5n-2} \right) + \left( {5m-2} \right)\left( {5n + 1} \right) + 4\)
luôn có giá trị là số nguyên chia hết cho 5.
Sử dụng quy tắc nhân hai đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta biến đổi biểu thức K như sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{K = \left( {5m + 1} \right)\left( {5n-2} \right) + \left( {5m-2} \right)\left( {5n + 1} \right) + 4}\\{ = \left( {25mn-10m + 5n-2} \right) + \left( {25mn + 5m-10n-2} \right) + 4}\\{ = 50mn-5m-5n = 5\left( {10mn-m-n} \right).}\end{array}\)
Từ kết quả trên, ta thấy K có dạng K = 5k, trong đó k = 10mn – m – n.
Ta thấy K luôn có giá trị là số nguyên tại mọi giá trị nguyên của m và n.
Do đó K luôn có giá trị là số nguyên chia hết cho 5.