Bài 15 trang 65 SBT toán 9 - Cánh diều tập 2: Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình...

Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n − 1) khối hàng, ..., tầng trên cùng có 1 khối hàng (chẳng hạn với n = 8 ta có cách xếp như minh hoạ ở Hình 7).

a) Tính tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng.

b) Tìm n, biết S = 120.

a) Thứ tự hàng bằng số khối ở mỗi hàng, vì vậy tháp n tầng ta lập được tổng gồm n số hạng từ 1 đến n.

b) Từ công thức tìm được ở câu a, thay S = 120 vào ta tìm được n.

a) Tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng là:

$S = 1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ khối hàng.

b) Với S = 120 ta có $120 = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ hay $n\left( {n + 1} \right) = 240$, do đó ${n^2} + n - 240 = 0$.

Phương trình có các hệ số $a = 1;b = 1;c = - 240$

$\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 240} \right) = 961 > 0$

Do $\Delta > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

${n_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {961} }}{{2.1}} = - 16;{n_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {961} }}{{2.1}} = 15$

Ta thấy $n = - 16$ không thỏa mãn và $n = 15$ thỏa mãn.

Vậy $n = 15$ với S = 120.