Bài 25 trang 43 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh...

Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh: $\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge 4ab$

Chứng minh hiệu $\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - 4ab \ge 0.$

Xét hiệu $\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - 4ab = {a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1 - 4ab = \left( {{a^2}{b^2} - 2ab + 1} \right) + \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = {\left( {ab - 1} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2}$

Do ${\left( {ab - 1} \right)^2} \ge 0$ và ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ với mọi số thực a,b nên ${\left( {ab - 1} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$

Vậy $\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - 4ab \ge 0$ hay $\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge 4ab$.