Bài 26 trang 43 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn $a < b$. Chứng minh...

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $M = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2024}} + 1}}$ và $N = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}}$

Chứng minh hiệu $\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b} > 0.$

Biến đổi $N = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2022}} + 1} \right)}}{{10\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right) + 9}}{{\left( {{{10}^{2024}} + 1} \right) + 9}}$.

Áp dụng kết quả câu a, ta được điều phải chứng minh.

Xét hiệu $\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b} = \frac{{b\left( {a + c} \right) - a\left( {b + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$$= \frac{{ab + bc - ab - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{bc - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$

Do a, b, c là các số dương và \(a 0\), $\left( {b + c} \right)$ suy ra $\frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$, do đó $\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b}$