Bài 25 trang 71 SBT toán 9 - Cánh diều tập 2: Cho phương trình x^2 + x - 2 + √ 2 = 0. Chứng tỏ rằng phương trình có hai...

Cho phương trình ${x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.$

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ trái dấu.

b) Không giải phương trình, tính:

$A = x_1^2 + x_2^2;\\B = x_1^3 + x_2^3;\\C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\\D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|.$

a) Chứng minh $ac < 0$.

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$

Bước 2: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$

a) Phương trình có các hệ số $a = 1;b = 1;c = - 2 + \sqrt 2 .$

Ta có $ac = 1.\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = - 2 + \sqrt 2 < 0$, suy ra phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ trái dấu.

b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = - 1;{x_1}.{x_2} = - 2 + \sqrt 2 .$

+) $A = {x_1}^2 + {x_2}^2$

$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) \\= 5 - 2\sqrt 2$

+) $B = x_1^3 + x_2^3$

$= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) \\= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( { - 1} \right)\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)} \right)\\ = - 7 + 3\sqrt 2$

+) $C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$

$= \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} \\= \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }} \\= \frac{1}{{2 - \sqrt 2 }} \\= 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

+) Xét ${D^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2}$

$= {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 1} \right)^2} - 4\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)\\ = 9 - 4\sqrt 2 \\= {\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)^2}$

Suy ra $D = 2\sqrt 2 - 1$.