Câu hỏi/bài tập:
a) Cho phương trình - {x^2} + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm {x_1};{x_2} thoả mãn điều kiện x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9.
b) Cho phương trình k{x^2} - 6\left( {k - 1} \right)x + 9\left( {k - 3} \right) = 0\left( {k \ne 0} \right).Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm {x_1};{x_2} thoả mãn điều kiện {x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0.
Bước 1: Tìm k để\Delta \ge 0 hoặc \Delta ‘ \ge 0.
Bước 2: Áp dụng định lý Viète để tính {x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}.
Bước 3: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng tổng và tích của {x_1};{x_2} rồi thay vào đẳng thức để tìm k.
Phương trình có các hệ số a = - 1;b = 5k;c = 4.
Ta có \Delta = {\left( {5k} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).4 = 25{k^2} + 16 > 0 với mọi k \in \mathbb{R}.
Do \Delta > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viète ta có:
{x_1} + {x_2} = 5k;{x_1}.{x_2} = - 4.
Ta lại có: x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9
Advertisements (Quảng cáo)
suy ra {\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 9
hay {\left( {5k} \right)^2} + 4.\left( { - 4} \right) = 9
Do đó 25{k^2} - 16 = 9, suy ra k = 1;k = - 1.
Vậy k = 1;k = - 1 là các giá trị cần tìm.
b) Phương trình có các hệ số a = k;b = - 6\left( {k - 1} \right);c = 9\left( {k - 3} \right).
Do đó b’ = \frac{b}{2} = - 3\left( {k - 1} \right).
Ta có \Delta ‘ = {\left( { - 3\left( {k - 1} \right)} \right)^2} - k.9\left( {k - 3} \right) = 9k + 9.
Để phương trình có 2 nghiệm thì \Delta ‘ \ge 0 hay 9k + 9 \ge 0, suy ra k \ge - 1 và k \ne 0.
Áp dụng định lý Viète ta có:
{x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k};{x_1}.{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}.
Ta lại có: \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k} - \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0
suy ra - 3k + 21 = 0 hay k = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy k = 7 là giá trị cần tìm.