Bài 27 trang 71 SBT toán 9 - Cánh diều tập 2: Cho phương trình x^2 + 2 2m - 1 x - 4m^2 - 1 = 0...

Cho phương trình ${x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - 4{m^2} - 1 = 0.$

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ không phụ thuộc vào giá trị của m.

a) Chứng minh $\Delta \ge 0\forall m \in \mathbb{R}$ hoặc $\Delta ‘ \ge 0\forall m \in \mathbb{R}$.

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính ${x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}$.

Bước 2: Biến đổi biểu thức để không chứa m nữa (có thể bình phương, nhân với một số,…).

Phương trình có các hệ số $a = 1;b = 2\left( {2m - 1} \right);c = - 4{m^2} - 1$, do đó $b’ = \frac{b}{2} = 2m - 1$.

Ta có:

$\Delta ‘ = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 4{m^2} - 1} \right) \\= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1.$

Do ${\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0;4{m^2} \ge 0;1 > 0$ nên ${\left( {2m - 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1 > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$ hay $\Delta ‘ \ge 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Vì $\Delta ‘ \ge 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = - 2\left( {2m - 1} \right);{x_1}.{x_2} = - 4{m^2} - 1.$

Ta có:

${\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} \\= {\left( { - 2\left( {2m - 1} \right) + 2} \right)^2} \\= 16{m^2} + 16$

và $4.{x_1}.{x_2} = 4\left( { - 4{m^2} - 1} \right) = - 16{m^2} - 4$

Suy ra

${\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2} \\= 16{m^2} + 16 - 16{m^2} - 4 = 12.$

Vậy hệ thức cần tìm là ${\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2}$.