Câu hỏi/bài tập:
Cho phương trình x2+2(k+1)x+k2+2k=0.
a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1;x2và |x1|.|x2|=1.
b*) Tìm các giá trị k (k<0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1;x2trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
a) Bước 1: Tìm tổng và tích của x1 và x2.
Bước 2: Biến đổi |x1||x2|=|x1x2| và thay tích x1x2 vào hệ thức vừa tìm được.
Bước 3: Giải phương trình để tìm k.
b) Bước 1: Phương trình luôn có hai nghiệm x1;x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm khi x1x2<0 và x1+x2<0.
Bước 2: Thay tổng và tích của x1 và x2 vào 2 bất phương trình.
Bước 3: Giải bất phương trình, đối chiếu điều kiện để tìm k.
Phương trình có các hệ số a=1;b=2(k+1);c=k2+2k, do đó b′=b2=k+1.
Ta có \Delta ‘ = {\left( {k + 1} \right)^2} - 1.\left( {{k^2} + 2k} \right) = 1 > 0.
Vì \Delta ‘ > 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:
{x_1} + {x_2} = - 2\left( {k + 1} \right);{x_1}.{x_2} = {k^2} + 2k
Ta có \left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = 1 hay \left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1,
do đó \left| {{k^2} + 2k} \right| = 1
suy ra {k^2} + 2k = 1 hoặc {k^2} + 2k = - 1
* {k^2} + 2k = 1 hay {k^2} + 2k - 1 = 0.
Ta có \Delta ‘ = {1^2} - 1.\left( { - 1} \right) = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
k = - 1 - \sqrt 2 ;k = - 1 + \sqrt 2
* {k^2} + 2k = - 1 hay {k^2} + 2k + 1 = 0.
Ta có \Delta ‘ = {1^2} - 1.1 = 0 nên phương trình có nghiệm kép: k = - 1.
Vậy k = - 1 - \sqrt 2 ;k = - 1 + \sqrt 2 ; k = - 1 là các giá trị cần tìm.
b) Để phương trình luôn có hai nghiệm {x_1};{x_2} trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì {x_1}{x_2} < 0 và {x_1} + {x_2} < 0 hay {k^2} + 2k < 0 và - 2\left( {k + 1} \right) < 0
* {k^2} + 2k < 0 hay k\left( {k + 2} \right) < 0
Vì k 0, suy ra k > - 2.
* - 2\left( {k + 1} \right) 0, suy ra k > - 1
Kết hợp với điều kiện k < 0 ta tìm được - 1 < k < 0.