Bài 30 trang 71 SBT toán 9 - Cánh diều tập 2: Cho phương trình x^2 + 2m - 1 x - m = 0...

Cho phương trình ${x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - m = 0$.

a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi ${x_1};{x_2}$là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức $A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Tìm m để $\Delta > 0$.

b) Bước 1: Tìm tổng và tích của ${x_1}$ và ${x_2}$.

Bước 2: Biến đổi $A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}$ để làm xuất hiện ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

Bước 3: Thay các giá trị ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$ vào biểu thức vừa tìm được.

Bước 4: Biến đổi $A = {B^2} + k$ với $k > 0$, chứng minh $A \ge k$.

Bước 5: Biện luận để tìm GTNN của A và tìm m.

a) Phương trình có các hệ số $a = 1;b = 2m - 1;c = - m$

Ta có $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = 4{m^2} + 1$

Mặt khác $4{m^2} \ge 0;1 > 0$ nên $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4 > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$

Do $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = - 2m + 1;{x_1}.{x_2} = - m$

Ta có:

$A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 2m + 1} \right)^2} - 3\left( { - m} \right) \\= 4{m^2} - m + 1 \\= {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}$

Do ${\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0;\frac{{15}}{{16}} > 0$ nên ${\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}$ hay $A \ge \frac{{15}}{{16}}$ với mọi $m \in \mathbb{R}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} = 0$, suy ra $m = \frac{1}{8}$.

Vậy A đạt GTNN bằng $\frac{{15}}{{16}}$ khi $m = \frac{1}{8}$.