Câu hỏi/bài tập:
Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn \(x + y + z = 5\) và \(xy + yz + xz = 8\).
Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};1 \le y \le \frac{7}{3};1 \le z \le \frac{7}{3}\)
* Chứng minh \(1 \le x \le \frac{7}{3}\).
Bước 1: Đặt \(S = y + z;P = yz\)
Bước 2: Biến đổi và biểu diễn S, P thông qua biến x.
Bước 3: Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: \({X^2} - SX + P = 0\)(điều kiện: \({S^2} - 4P \ge 0\)).
Bước 4: Ta chứng minh \(1 \le x \le \frac{7}{3}\) thông qua việc biện luận để giải phương trình \({S^2} - 4P \ge 0\).
Đặt \(S = y + z;P = yz\)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: \(S = y + z = 5 - x;\) \(P = yz = 8 - x\left( {y + z} \right) = 8 - x\left( {5 - x} \right)\).
Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:
\({X^2} - \left( {5 - x} \right)X + 8 - x\left( {5 - x} \right) = 0\)
Điều kiện: \({S^2} - 4P \ge 0\)
hay \({\left( {5 - x} \right)^2} - 4.\left[ {8 - x\left( {5 - x} \right)} \right] \ge 0\),
do đó \( - 3{x^2} + 10x - 7 \ge 0\),
hay \(3{x^2} - 10x + 7 \le 0\),
suy ra \(3\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{3}} \right) \le 0\) (*).
Vì \(3{x^2} - 10x + 7 \le 0\) và \(x - 1 > x - \frac{7}{3}\) nên (*) suy ra \(x - \frac{7}{3} \le 0\) và \(x - 1 \ge 0\), do đó \(x \le \frac{7}{3}\) và \(x \ge 1\)
Vậy \(1 \le x \le \frac{7}{3}\).
Tương tự ta chứng minh được \(1 \le y \le \frac{7}{3}\), \(1 \le z \le \frac{7}{3}\).