Bài 31 trang 71 SBT toán 9 - Cánh diều tập 2: Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn x + y + z = 5 và xy...

Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn $x + y + z = 5$ và $xy + yz + xz = 8$.

Chứng tỏ rằng: $1 \le x \le \frac{7}{3};1 \le y \le \frac{7}{3};1 \le z \le \frac{7}{3}$

* Chứng minh $1 \le x \le \frac{7}{3}$.

Bước 1: Đặt $S = y + z;P = yz$

Bước 2: Biến đổi và biểu diễn S, P thông qua biến x.

Bước 3: Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: ${X^2} - SX + P = 0$(điều kiện: ${S^2} - 4P \ge 0$).

Bước 4: Ta chứng minh $1 \le x \le \frac{7}{3}$ thông qua việc biện luận để giải phương trình ${S^2} - 4P \ge 0$.

Đặt $S = y + z;P = yz$

Suy ra: $S = y + z = 5 - x;$ $P = yz = 8 - x\left( {y + z} \right) = 8 - x\left( {5 - x} \right)$.

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

${X^2} - \left( {5 - x} \right)X + 8 - x\left( {5 - x} \right) = 0$

Điều kiện: ${S^2} - 4P \ge 0$

hay ${\left( {5 - x} \right)^2} - 4.\left[ {8 - x\left( {5 - x} \right)} \right] \ge 0$,

do đó $- 3{x^2} + 10x - 7 \ge 0$,

hay $3{x^2} - 10x + 7 \le 0$,

suy ra $3\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{3}} \right) \le 0$ (*).

Vì $3{x^2} - 10x + 7 \le 0$ và $x - 1 > x - \frac{7}{3}$ nên (*) suy ra $x - \frac{7}{3} \le 0$ và $x - 1 \ge 0$, do đó $x \le \frac{7}{3}$ và $x \ge 1$

Vậy $1 \le x \le \frac{7}{3}$.

Tương tự ta chứng minh được $1 \le y \le \frac{7}{3}$, $1 \le z \le \frac{7}{3}$.