Bài 40 trang 67 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x...

Cho biểu thức $P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}$ với $x \ge 0,x \ne 1$.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P tại $x = 1$.

c) Tìm giá trị của $x$ để P nguyên.

a) Quy đồng các phân thức.

b) Thay$x = 1$ và biểu thức P đã rút gọn.

c) Chặn 2 đầu của P:

Với $x \ne 1,x \ge 0$ ta có $\sqrt x + 1 \ge 1$ nên $\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \ge 0$ và $\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5$. Do đó $0 < P \le 5$.

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1,x \ge 0$

$\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {5 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\end{array}$

b) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào P, ta được $P = \frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{5}{2}$

Vậy $P = \frac{5}{2}$ khi $x = 1$.

c) Với $x \ne 1,x \ge 0$ ta có $\sqrt x + 1 \ge 1$ nên $\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \ge 0$ và $\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5$. Do đó $0 < P \le 5$.

Vậy để P nguyên thì $P \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ {16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{{16}};0} \right\}$ là các giá trị cần tìm.