Bài 57 trang 124 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat A = \widehat B = 90^\circ$) với $\widehat C = 30^\circ$...

Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat A = \widehat B = 90^\circ$) với $\widehat C = 30^\circ$, BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Diện tích của phần tô màu xám = diện tích hình thang ABCD – diện tích quạt tròn CBD.

Bước 1: Áp dụng tỉ số lượng giác để tính DH, CH; từ đó tính được BH.

Bước 2: Chứng minh ABHD là hình chữ nhật, từ đó tính được AB, AD.

Bước 3: Tính diện tích hình thang ABCD, diện tích quạt tròn CBD.

Kẻ $DH \bot BC$($H \in BC$) suy ra $\widehat {CHD} = \widehat {BHD} = 90^\circ$.

Do tam giác CDH vuông tại H nên ta có $DH = CD.\sin C = a.\sin 30^\circ = a.\frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

và $CH = CD.\cos C = a.\cos 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có $BH = BC - CH = a - \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{2}$

Xét tứ giác ABHD có: $\widehat A = \widehat B = \widehat {BHD} = 90^\circ$ nên ABHD là hình chữ nhật,

do đó $AB = DH = \frac{a}{2}$, $AD = BH = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{2}$

Diện tích hình thang ABCD là

${S_1} = \frac{{AB\left( {AD + BC} \right)}}{2} = \frac{a}{2}.\left( {\frac{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{2} + a} \right):2 = \frac{{{a^2}\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}}{8}$

Diện tích quạt tròn BCD là

${S_2} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .{a^2}.30}}{{360}} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}$

Diện tích phần tô xám là

$S = {S_1} - {S_2} = \frac{{{a^2}\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}}{8} - \frac{{\pi {a^2}}}{{12}} = \frac{{{a^2}\left( {12 - 3\sqrt 3 - 2\pi } \right)}}{{24}}$.