Bài 6 trang 53 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và $AC \bot AD$. Tính độ dài cạnh AD...

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và $AC \bot AD$. Tính độ dài cạnh AD, biết $AB = 5cm,CD = 11cm.$

Bước 1: Kẻ đường cao BH, CK.

Bước 2: Chứng minh ABKH là hình chữ nhật, từ đó tính được HK.

Bước 3: Chứng minh $\Delta AHD = \Delta AKC$, từ đó tính được DH.

Bước 4: Chứng minh , từ đó tính được AD.

Kẻ BH, CK lần lượt vuông góc với CD tại H, K do đó $\widehat {AHK} = \widehat {BKH} = 90^\circ .$

Do $BK \bot CD,AB//CD$ nên $BK \bot AB$, suy ra $\widehat {ABK} = 90^\circ$.

Xét tứ giác ABKH, ta có $\widehat {AHK} = \widehat {BKH} = \widehat {ABK} = 90^\circ$ nên ABKH là hình chữ nhật.

Suy ra $HK = AB = 5cm.$

Xét tam giác AHD và tam giác BKC ta có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

AH = BK (ABKH là hình chữ nhật)

$\widehat {AHD} = \widehat {BKC}\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $\Delta AHD = \Delta AKC$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Nên $HD = KC = \frac{{CD - HK}}{2} = 3cm.$

Xét tam giác ACD và tam giác HAD có:

$\widehat {ADC}$ chung, $\widehat {DAC} = \widehat {AHD}( = 90^\circ )$

Suy ra nên $\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{HD}}$ hay $A{D^2} = CD.HD$,

do đó $AD = \sqrt {CD.HD} = \sqrt {11.3} = \sqrt {33} cm.$