Câu hỏi/bài tập:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
b) 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c
a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Suy ra a2<a(b+c),b2<b(a+c),c2<c(a+b)
Cộng vế với vế ta được điêu cần chứng minh.
b) Chứng minh 1a+1b≥4a−b
(xét hiệu 1a+1b−4a+b)
Suy ra 1a+b−c+1b+c−a≥2b; 1b+c−a+1c+a−b≥2c và 1a+b−c+1c+a−b≥2a
Do đó 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Do a,b,clà độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a>0,b>0,c>0,a+b>c,b+c>a,a+c>b.
Suy ra a2<a(b+c),b2<b(a+c),c2<c(a+b)
Do đó a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
Hay a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
b) Chứng minh 1a+1b≥4a−b
Xét hiệu
1a+1b−4a+b=b(a+b)+a(a+b)−4abab(a+b)
=a2+b2−2abab(a+b)=(a−b)2ab(a+b)
Với a,b dương, ta có (a−b)2≥0,ab≥0,(a+b)≥0 suy ra (a−b)2ab(a+b)≥0 hay 1a+1b−4a+b
Vậy 1a+1b≥4a+b
Theo kết quả trên, ta có: 1a+b−c+1b+c−a≥4(a+b−c)+(b+c−a)
hay 1a+b−c+1b+c−a≥2b
Chứng minh tương tự, ta được 1b+c−a+1c+a−b≥2c và 1a+b−c+1c+a−b≥2a
Do đó 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c.