Câu hỏi/bài tập:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Cộng vế với vế ta được điêu cần chứng minh.
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
(xét hiệu \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\))
Suy ra \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\); \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Do \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a > 0,b > 0,c > 0,a + b > c,b + c > a,a + c > b\).
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} < a\left( {b + c} \right) + b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + b} \right)\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
Xét hiệu
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)\( = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
Với a,b dương, ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab \ge 0,\left( {a + b} \right) \ge 0\) suy ra \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\) hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)
Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
Theo kết quả trên, ta có: \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{\left( {a + b - c} \right) + \left( {b + c - a} \right)}}\)
hay \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).