Bài 2 trang 117 Toán 9 Cánh diều tập 1: Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây $AB$ sao cho $\widehat {AOB} = 90^\circ$. Giả sử \(M...

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây $AB$ sao cho $\widehat {AOB} = 90^\circ$. Giả sử $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc cung lớn $AB$ và cung nhỏ $AB$ ($M,N$ khác $A$ và $B$).

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ theo $R$.

b) Tính số đo các góc $ANB$ và $AMB$.

Dựa vào tính chất góc ở tâm và góc nội tiếp để tính.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AOB$ vuông tại $O$, ta có:

$O{A^2} + O{B^2} = A{B^2} \Rightarrow A{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow AB = \sqrt 2 R$

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$:

+) Vì $\widehat {ANB}$ là góc nội tiếp và $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm cùng chắn cung $AB$ nên:

$\widehat {ANB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$.

+) $sđ\overset\frown{AMB}=360{}^\circ -sđ\overset\frown{ANB}=360{}^\circ -90{}^\circ =270{}^\circ$

+) Vì $\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AMB$ nên:

$\widehat{AMB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AMB}=\frac{1}{2}.270{}^\circ =135{}^\circ$.

Vậy $\widehat {ANB} = 45^\circ ,\widehat {AMB} = 135^\circ$.