Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\) và các đường thẳng \(m,n,p\) lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại \(A,B,C\) (Hình 43).
Chứng minh:
a) \(AD + BE = DE\);
b) \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\) và \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\);
c) Tam giác \(ODE\) vuông;
d) \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R\).
Dựa vào tính chất tiếp tuyến để chứng minh.
a) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(DA = DC\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(CE = BE\).
Advertisements (Quảng cáo)
Lại có: \(DC + CE = DE\) suy ra \(DA + EB = DE\).
b) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OD\) là tia phân giác của góc \(COA\).
Suy ra \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OE\) là tia phân giác của góc \(COB\).
Suy ra \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\).
c) Ta có: \(\widehat {COA} + \widehat {COB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {COB}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {COB} = 90^\circ .\)
Mà \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\),\(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\) nên \(\widehat {COD} + \widehat {COE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DOE} = 90^\circ \).
Vậy tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\).
d) Xét tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\), đường cao \(OC\) có:
\(DO.OE = CO.DE\) (hệ thức lượng)
\( \Rightarrow \frac{{OD.OE}}{{DE}} = OC\).
Mà \(OC = R\) nên \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R\).