Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:
a) BD⊥AB,CD⊥AC.
b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) AC2+BH2=4R2.
d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.
a) Dựa vào định lý: Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông.
b) Chứng minh BH//CD, HC//BD thông qua mối quan hệ từ vuông góc đến song song.
c) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACD.
d) H, M, D thẳng hàng: Chỉ ra M là giao điểm của 2 đường chéo trong hình bình hành BHCD.
AH = 2OM: Chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AHD.
a) Chứng minh: BD⊥AB
Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OB = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra OA=OD=AD2.
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó OB=OA=OD=AD2.
Xét tam giác ABD có đường trung tuyến BO và OB=AD2 nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra BD⊥AB
Chứng minh: CD⊥AC.
Vì tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OC = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra OA=OD=AD2.
Do đó OC=OA=OD=AD2.
Xét tam giác ACD có đường trung tuyến CO và OC=AD2 nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra CD⊥AC.
b) Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC nên BH⊥AC,CH⊥AB
Ta lại có:
BH⊥AC, CD⊥AC(câu a) nên BH // DC.
CH⊥AB, BD⊥AB (câu a) nên CH // BD.
Xét BHCD có: BH // DC, CH // BD (cmt) suy ra BHCD là hình bình hành (dhnb).
c) Do BHCD là hình bình hành nên BH = CD.
Xét tam giác ADC vuông tại C có: AC2+CD2=AD2, mà BH = CD, AD = 2R nên:
AC2+BH2=4R2.
d) Do BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD. Hay H, M, D thẳng hàng.
Xét tam giác AHD có: M là trung điểm của HD (cmt), O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình, suy ra OM=12AH hay AH=2OM.