Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ACD lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình 17). Chứng minh:
a) Ba điểm I, H, K thẳng hàng.
b) AM = AN.
c) ^IAK=12^BAD.
a) Chứng minh ^IHA+^AHK=^IHK=90∘+90∘=180∘.
b) Chứng minh ΔIMA=ΔIHA(g.c.g) và ΔKHA=ΔKNA(g.c.g) suy ra AM = AN ( = AH).
c) Từ 2 cặp tam giác bằng nhau ở câu b ta suy ra được ^HAI+^HAK=12^MAN, từ đó ta có điều phải chứng minh.
a) Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên IH⊥AC, suy ra ^IHA=90∘.
Do đường tròn (K) nội tiếp tam giác ADC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên KH⊥AC, suy ra ^IHK=90∘.
Ta có: ^IHA+^AHK=^IHK=90∘+90∘=180∘, nên I, H, K thẳng hàng.
b) Ta có: Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC nên IH = IM, và IM⊥AB hay ^IMA=90∘.
Xét tam giác IMA và tam giác IHA có:
AI chung
IM = IH (cmt)
Advertisements (Quảng cáo)
^IMA=^IHA=90∘
Suy ra ΔIMA=ΔIHA(g.c.g)
Do đó AM = AH (2 cạnh tương ứng) (i)
Ta có: Đường tròn (K) nội tiếp tam giác ADC nên KH = KN, và NK⊥AD hay ^KNA=90∘.
Xét tam giác KHA và tam giác KNA có:
AK chung
KH = KN (cmt)
^KHA=^KNA=90∘
Suy ra ΔKHA=ΔKNA(g.c.g)
Do đó AN = AH (2 cạnh tương ứng) (ii)
Từ (i) và (ii) suy ra AM = AN ( = AH).
c) Từ câu b ta có:
ΔIMA=ΔIHA nên ^MAI=^HAI (hai góc tương ứng)
ΔKHA=ΔKNA nên ^HAK=^KAN(hai góc tương ứng)
Mà ^MAI+^HAI+^HAK+^KAN=^MAN
Nên 2^HAI+2^HAK=^MAN do đó ^HAI+^HAK=12^MAN
Hay ^IAK=12^BAD.