Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh:
a) ^MHN+^ABC=180∘.
b) ^AHC=^ADC.
c) ^ADC=^BAM+90∘.
a) Áp dụng tổng 4 góc trong tứ giác HMBN bằng 180∘
b) ^AHC=^ADC vì cùng bù với góc CBA.
c) Chứng minh ^BAM+^AMB=^BAM+90∘=180∘−^MBA=^ADC.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Do tam giác ABC có hai đường cao AM, CN nên ^HMB=90∘,^BNH=90∘
Xét tứ giác HMBN có:
^NHM+^HMB+^MBN+^BNH=360∘^NHM+^MBN=360∘−^HMB−^BNH^NHM+^MBN=360∘−90∘−90∘=180∘.
Hay ^MHN+^ABC=180∘.
b) Vì ABCD nội tiếp đường tròn nên ^CDA+^ABC=180∘.
mà ^MHN+^ABC=180∘ (câu a)
suy ra ^CDA=^MHN, hơn nữa ^CHA=^MHN (đối đỉnh)
vậy ^CHA=^CDA.
c) Xét tam giác AMB vuông tại M có: ^BAM+^AMB=^BAM+90∘=180∘−^MBA.
Mà 180∘−^MBA=^ADC (do ABCD nội tiếp)
Vậy ^ADC=^BAM+90∘.