Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 2}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}y = 1}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y\sqrt 2 = 0}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\)
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 }\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{(x + y) + 2(x - y) = 5}\end{array}} \right.\)
Dựa vào các bước giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 2}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}y = 1}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\left( {2 - 4x} \right) = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{0x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Phương trình 0x = \(\frac{1}{3}\) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y\sqrt 2 = 0}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 3}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{2 + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y\sqrt 2 = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 }\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \), ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4}\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế 2 phương trình của hệ, ta được \(6\sqrt 6 x = 6\) , suy ra x = \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
Thay x = \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\) vào phương trình \(x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\) ta được \(1 - y\sqrt 2 = 2\). Do đó,
y = \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }};\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{(x + y) + 2(x - y) = 5}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2, ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{2(x + y) + 4(x - y) = 10}\end{array}} \right.\)
Trừ từng vế 2 phương trình của hệ, ta được – (x – y) = - 6 , suy ra (x – y) = 6 (1)
Thay x – y = 6 vào phương trình 2(x + y) + 3(x – y) = 4 ta được 2(x + y) + 18 = 4
Suy ra x + y = - 7 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = - 7}\\{x - y = 6}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + y + y = - 7}\\{x = 6 + y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{ - 13}}{2}}\\{x = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 13}}{2}} \right)\).