Bài 6 trang 56 Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh rằng: a) \(\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}...

Chứng minh rằng:

a) $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ với a > 0; b > 0

b) $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ với a $\ge$ 0 và a $\ne$1

Phân tích xuất hiện nhân tử chung, tính toán vế trái rồi tính đưa về dạng vế phải.

a) $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ với a > 0; b > 0

Xét vế trái ta có:

$\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = \frac{{\left( {a\sqrt b - b\sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}$

$= \frac{{a\sqrt {ab} + ab - ab - b\sqrt {ab} }}{{\sqrt {ab} }} = \frac{{\left( {a - b} \right)\sqrt {ab} }}{{\sqrt {ab} }} = a - b$ = VP

b) $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ với a $\ge$ 0 và a $\ne$1

Xét vế trái ta có:

$\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)$

$= \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 - a$ = VP.