Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn (O’) đường kính HC.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Đường tròn (O) cắt AB tại E, đường tròn (O’) cắt AC tại F. Chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường tròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O’).
d) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N. Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ANF.
- Chứng minh OO’ = R + R’ và O; H; H’ thẳng hàng suy ra hai đường tròn tiếp xúc nhau.
- Chứng minh ^HEA=90o ; ^EAF=90o; ^AFH=90o suy ra AEHF là hình chữ nhật
- Chứng minh EF ⊥ OE suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O) và EF ⊥O’F suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O’)
- Cần chứng minh SΔANFSΔEAF=AF2AH2 suy ra SΔANF
a) Ta có OO’ = OH + O’H = R + R’ và O; H; H’ thẳng hàng.
Suy ra hai đường tròn tiếp xúc nhau.
b) Xét đường tròn (O) có BH là đường kính
là góc nội tiếp chắn cung BH suy ra ^BEH= 90o hay AB ⊥ EH tại E.
Xét đường tròn (O’) có HC là đường kính
^HFC là góc nội tiếp chắn cung HC suy ra ^HFC= 90o hay AC ⊥ HF tại F.
Xét tứ giác AEHF có:
^HEA=90o (chứng minh trên);
^EAF=90o (giả thiết);
^AFH=90o (chứng minh trên).
Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
c) Vì OE = OH = R nên ΔOEH cân tại O suy ra ^OEH=^OHE.
Ta có ^BHE=90o−ˆB; ^BAH=90o−ˆB suy ra ^BHE=^BAH.
Mà ^OEH=^BHE (chứng minh trên); ^BHA=^AEF (tính chất hình chữ nhật).
Suy ra ^OEH=^AEF hay ^OEH+^HEF=^AEF+^HEF suy ra ^OEF=^AEH=90o.
Nên EF ⊥ OE tại E; E ∈ (O)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O) (1).
Vì O’F = O’H = R’ nên tam giác O’HF cân tại O’ suy ra ^O′HF=^O′FH
Mà ^AHF=^EFH (tính chất hình chữ nhật)
Nên ^O′HF+^AFH=^O′HF+^EFH hay ^O′FE+^AHC=90o.
Nên EF ⊥ O’F tại F; F ∈ (O’)
Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O’) (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
d) Ta có: ^AEF=^BAH=90o−ˆB (tổng ba góc trong của tam giác).
ˆC=90o−ˆB (tổng ba góc trong của tam giác).
Suy ra ^AEF=^BAH=ˆC mà ˆC=^NAF (do AM = MC = BM = 12 BC nên Δ AMC cân tai M).
Suy ra ^AEF=^NAF.
Xét ΔANF và ΔEAF có:
^NFA chung
^AEF=^NAF (chứng minh trên).
Suy ra ΔANF đồng dạng ΔEAF (g – g)
Suy ra SΔANFSΔEAF=AF2EF2=AF2AH2 (EF = AH do AEHF là hình chữ nhật).
Xét ΔAEF và ΔABC có:
^EAF chung
^AEF=ˆC (chứng minh trên).
Suy ra ΔAEF đồng dạng ΔABC (g – g)
SΔAEFSΔABC=BF2BC2=AH2BC2 (EF = AH do AEHF là hình chữ nhật).
Ta có EF2=AH2=AB2.AC2AB2+AC2=82.6282+62=23,04 (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Suy ra AH = 4,8 cm.
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 =100 (Định lý Pytagore).
Suy ra BC = 10 cm.
AH2 = AF.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Nên AF2=AH2AC=4,828 = 2,88 cm.
Vậy SΔAEFSΔABC=AH2BC2=4,82102=144625
suy ra SΔAEF=144625.SΔABC=144625.12.AB.AC= 5,53 cm2.
SΔANFSΔEAF=AF2AH2=2,8824,82=925suy ra SΔANF=925.SΔEAF = 1,99cm2.