Bài 3.15 trang 53 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Cho căn thức $\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .$a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với...

Cho căn thức $\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Rút gọn căn thức đã cho với $x \ge 2.$

c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \ge 2,$ biểu thức $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }$ có giá trị không đổi.

Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt A$ là $A \ge 0.$

$\left| A \right| = A$ khi $A \ge 0;$ $\left| A \right| = - A$ khi $A < 0$

Đối với ý c, để biểu thức có giá trị không đổi tức kết quả sau khi rút gọn sẽ không còn biến.

a) Ta có: $\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}$.

Do ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi x nên căn thức đã cho xác định với mọi giá trị của x.

b) Với $x \ge 2$ ta có:

$\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right| = x - 2$

c) Ta có:

$\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } = \sqrt {x - \left| {x - 2} \right|} = \sqrt {x - \left( {x - 2} \right)} = \sqrt 2$ là hằng số

Do đó với mọi $x \ge 2,$ biểu thức $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }$có giá trị không đổi.