Bài 3.28 trang 64 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Rút gọn các biểu thức sau...

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}};$

b) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} - \sqrt {63} + \frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt 2 }};$

c) $\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{2\sqrt {12} }};$

d) $\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^3}}} - 1}}{{\sqrt {50} }}.$

Sử dụng kết hợp các phương pháp trục căn thức, khai căn bặc hai, bậc ba, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, rồi thu gọn biểu thức.

a) $\frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\left( {5 + 3\sqrt 5 } \right).\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} - \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\sqrt 5 + 15}}{5} - \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 - 4}}\end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt 5 + 3 - \left( {\sqrt 5 + 2} \right)\\ = 1\end{array}$

b) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} - \sqrt {63} + \frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l} = \left| {\sqrt 7 - 2} \right| - \sqrt {9.7} + \frac{{\sqrt {2.28} }}{{\sqrt 2 }}\\ = \sqrt 7 - 2 - 3\sqrt 7 + \sqrt {28} \\ = - 2 - 2\sqrt 7 + \sqrt {4.7} \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 2 - 2\sqrt 7 + 2\sqrt 7 \\ = - 2\end{array}$

c) $\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{2\sqrt {12} }}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\left| {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right|}}{{2\sqrt {4.3} }}\\ = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{4\sqrt 3 }}\\ = \frac{{2\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }}\\ = \frac{1}{2}\end{array}$

d) $\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^3}}} - 1}}{{\sqrt {50} }}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 2 + 1 - 1}}{{\sqrt {25.2} }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }}\\ = \frac{1}{5}\end{array}$