Bài 5.39 trang 113 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Cho tam giác vuông ABC (A vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A...

Cho tam giác vuông ABC (A vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:

a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).

a) Chứng minh $\Delta {\rm{ABC}} = \Delta {\rm{A’BC}}$ từ đó suy ra $\widehat {{\rm{BA’C}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$.

Do đó BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) Lần lượt chứng minh CA và CA’ là các tiếp tuyến của (B; BA).

a) Xét tam giác ABC và tam giác A’BC có:

BA = BA’

BC chung

CA = CA’

Suy ra: $\Delta {\rm{ABC}} = \Delta {\rm{A’BC}}$(c.c.c)

Do đó: $\widehat {{\rm{BA’C}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Suy ra: ${\rm{CA’}} \bot {\rm{BA’}}$ tại A’ nên BA’ là tiếp tuyến của (C; CA)

Lại có: ${\rm{CA}} \bot {\rm{BA}}$ tại A nên BA là tiếp tuyến của (C; CA)

Vậy CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) ${\rm{CA’}} \bot {\rm{BA’}}$ tại A’ nên CA’ là tiếp tuyến của (B; BA)

${\rm{CA}} \bot {\rm{BA}}$ tại A nên CA là tiếp tuyến của (B; BA)

Vậy BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).