Bài 5.40 trang 113 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?...

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F) khác A. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng ${\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}}$.

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

a) Chứng minh OO’KI là hình thang có 1 góc vuông.

b) Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng.

c) Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\widehat {{\rm{OIO’}}} = 90^\circ$.

a) Tam giác OAE cân tại O có OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.

Tam giác O’AF cân tại O có O’K là trung tuyến nên O’K cũng là đường cao.

Suy ra: OI // O’K (vì cùng vuông góc với d)

Do đó: OO’KI là hình thang.

Mà: $\widehat {{\rm{OIA}}} = 90^\circ$

Vậy OO’KI là một hình thang vuông.

b)

Vì I là trung điểm của AE nên ${\rm{IA}} = \frac{1}{2}{\rm{AE}}$

Vì K là trung điểm của AF nên ${\rm{AK}} = \frac{1}{2}{\rm{AF}}$

Suy ra: ${\rm{IK}} = {\rm{IA}} + {\rm{AK}} = \frac{1}{2}{\rm{AE}} + \frac{1}{2}{\rm{AF}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}}$

c) Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\widehat {{\rm{OIO’}}} = 90^\circ$ hay ${\rm{OI}} \bot {\rm{OO’}}$

Mà ${\rm{d}} \bot {\rm{OI}}$ nên ${\rm{d//OO’}}$