Chứng minh rằng:
a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\)
b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)
Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên
Một số công thức áp dụng: \(n(n - 1)! = n!,k(k - 1)! = k!\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Với \(1 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:
VP = \(nC_{n - 1}^{k - 1} = \frac{{n(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left[ {(n - 1) - (k - 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n - k)!}}\)\( = k\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = kC_n^k\) = VT (ĐPCM)
b) Với \(0 \le k \le n\), biến đổi vế phải ta có:
VP = \(\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n - k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = \frac{1}{{k + 1}}C_n^k\) = VT (ĐPCM)