Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều - Bài 3. Tổ hợp
Chứng minh rằng:
a) kCkn=nCk−1n−1 với 1≤k≤n
b) 1k+1Ckn=1n+1Ck+1n+1 với 0≤k≤n
Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên
Một số công thức áp dụng: n(n−1)!=n!,k(k−1)!=k!
Advertisements (Quảng cáo)
a) Với 1≤k≤n, biến đổi vế phải ta có:
VP = nCk−1n−1=n(n−1)!(k−1)![(n−1)−(k−1)]!=n!(k−1)!(n−k)!=n!k!k(n−k)!=kn!k!(n−k)! =kCkn = VT (ĐPCM)
b) Với 0≤k≤n, biến đổi vế phải ta có:
VP = 1n+1Ck+1n+1=1n+1(n+1)!(k+1)![(n+1)−(k+1)]!=(n+1).n!(n+1)(k+1)!(n−k)!=n!(k+1)!(n−k)!
=n!(k+1)k!(n−k)!=1k+1n!k!(n−k)! =1k+1Ckn = VT (ĐPCM)