Bài 64 trang 106 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC. N l...

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC. N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt $x = \frac{{AN}}{{AC}}$. Tìm x thỏa mãn $AM \bot BN$

Bước 1: Tách và đưa các vectơ  $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BN}$ về vectơ chung gốc sao cho xuất hiện vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AC}$

Bước 2: Sử dụng tính chất $AM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0$ để lập PT ẩn x

Bước 3: Giải PT ở bước 2 để tìm x và kết luận

Do $AM \bot BN$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0$

Ta có: $x = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN = xAC \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = x\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}$ ; $\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}$

Khi đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0$$\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right).\left( {x\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0$

                                $\Leftrightarrow \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  - x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  = 0$

                                $\Leftrightarrow \frac{x}{2}.BC.\sqrt 2 BC.\cos {45^0} + x.AB.\sqrt 2 AB.\cos {45^0} - A{B^2} = 0$

                                $\Leftrightarrow \frac{x}{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$

Vậy với $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}$ thì $AM \bot BN$