Bài 65 trang 106 SBT toán 10 Cánh diều: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm...

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ (*)

Bước 1: Sử dụng tính chất ${\overrightarrow a ^2} = {a^2}$ , tính chất trọng tâm tam giác và tách vectơ để biến đổi vế trái

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

Biến đổi vế trái (*) ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}$$= {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$

                                      $= 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)$

                                      $= 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0$

                                      $= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ = VP (*) (ĐPCM)