Bài 7 trang 43 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hàm số (y = frac{{ - 2}}{x}). Chứng tỏ hàm số đã cho đồng biến trên các khoản...

Cho hàm số $y = \frac{{ - 2}}{x}$. Chứng tỏ hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$

Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ khi $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{x}$.

+ Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ với ${x_1} < {x_2}$

Ta có: $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - 2}}{{{x_1}}} - \frac{{ - 2}}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}$

Mà ${x_1} < {x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0,\;{x_1}.{x_2} > 0$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$

+ Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)$ với ${x_1} < {x_2}$

Ta có: $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - 2}}{{{x_1}}} - \frac{{ - 2}}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}$

Mà $0 < {x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0,\;{x_1}.{x_2} > 0$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và  $\left( {0; + \infty } \right)$