Bài 2 trang 75 SBT Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo: a) (left( {{C_1}} right):7{x^2} + 13{y^2} = 1)...

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

a) $\left( {{C_1}} \right):7{x^2} + 13{y^2} = 1$

b) $\left( {{C_2}} \right):25{x^2} - 9{y^2} = 225$

c) $\left( {{C_3}} \right):x = 2{y^2}$

Phương trình Elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)$và có tiêu cự là $2c$ với $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)$và có tiêu cự là $2c$ với $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Parabol $\left( P \right)$ có dạng ${y^2} = 2px$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$, phương trình đường chuẩn $\Delta 😡 =  - \frac{p}{2}$

a) $\left( {{C_1}} \right):7{x^2} + 13{y^2} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{7}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{13}}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = \frac{1}{7};{b^2} = \frac{1}{{13}}$

$\Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = \frac{1}{7} - \frac{1}{{13}} = \frac{6}{{91}} \Rightarrow c = \sqrt {\frac{6}{{91}}}$

$\left( {{C_1}} \right)$ là elip có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {\frac{6}{{91}}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {\frac{6}{{91}}} ;0} \right)$

b) $\begin{array}{l}\left( {{C_2}} \right):25{x^2} - 9{y^2} = 225 \Rightarrow \frac{{25{x^2}}}{{225}} - \frac{{9{y^2}}}{{225}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\\ \Rightarrow {a^2} = 9;{b^2} = 25;{c^2} = {a^2} + {b^2} = 9 + 25 = 34 \Rightarrow c = \sqrt {34} \end{array}$

$\left( {{C_2}} \right)$ là hypebol có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {34} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {34} ;0} \right)$

c) $\left( {{C_3}} \right):x = 2{y^2} \Rightarrow {y^2} = \frac{1}{2}x \Rightarrow p = \frac{1}{4}$

$\left( {{C_3}} \right)$ là parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{8};0} \right)$