Bài 5 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cát là hình hypebol có phương trình (fra...

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cát là hình hypebol có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{30}} - \frac{{{y^2}}}{{50}} = 1$. Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)$và có tiêu cự là $2c$ với $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Ta có: O(0;0) là tâm đối xứng của hypebol

=> khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là OA, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là OB và $OA = \frac{1}{2}OB$

Mà chiều cao tháp là 120m hay $OA + OB = 120$$\Rightarrow OA = 40(m);OB = 80(m)$

Gọi r và R lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Lấy N là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N\left( {r;40} \right)$

Tương tự,  M là điểm ở đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M\left( {R; - 80} \right)$

Thay tọa độ điểm $M\left( {R; - 80} \right),N\left( {r;40} \right)$ vào phương trình hypebol ta tính được:

$R = 30\sqrt {1 + \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{{50}^2}}}}  \approx 57\left( m \right),r = 30\sqrt {1 + \frac{{{{40}^2}}}{{{{50}^2}}}}  \approx 38\left( m \right)$

Vậy bán kính nóc là 38m, bán kính đáy là 57m.