Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như hình 5.
a) Chứng minh: →AI.→AM=→AI.→AB;→BI.→BN=→AB.→BA
b) Tính →AI.→AM+→BI.→BN theo R
a) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
→AI.→AM=|→AI|.|→AM|.cos(→AI,→AM)=AI.AM.cos0∘=AI.AM (*)
Mặt khác AM=AB.cos^MAB, thay vào (*) ta có:
→AI.→AM=AI.AM=AI.AB.cos^MAB=|→AI|.|→AB|.cos(→AI,→AB)=→AI.→AB (đpcm)
→BI.→BN=|→BI|.|→BN|.cos(→BI,→BN)=BI.BN.cos0∘=BI.BN (**)
Mặt khác BN=BA.cos^NBA, thay vào (**) ta có:
→BI.→BN=BI.BN=BI.BA.cos^NBA=|→BI|.|→BA|.cos(→BI,→BA)=→BI.→BA (đpcm)
b) Từ kết quả của câu a) ta có:
→AI.→AM+→BI.→BN=→AI.→AB+→BI.→BA=→AI.→AB+→BI.(−→AB)=→AI.→AB−→AB.→BI=→AB(→AI−→BI)=→AB(→AI+→IB)=→AB2=AB2=(2R)2=4R2
Vậy →AI.→AM+→BI.→BN=4R2