Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC,CA,AB. Chứng minh rằng →MD+→ME+→MF=32→MO.
Gọi đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt BC,AC lần lượt tại G,J; đường thẳng đi qua M và song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại P,I; đường thẳng đi qua M và song song với AC cắt AB,BC lần lượt tại Q,H.
Ta có: MG//AB ⇒ ^MGH=^ABC=60∘
MH//AC ⇒ ^MHG=^ACB=60∘
⇒ ΔMHG là tam giác đều
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt khác MD⊥HG
⇒ D là trung điểm của GH
⇒ 2→MD=→MG+→MH (1)
Chứng minh tương tự ta được: 2→ME=→MQ+→MP, 2→MF=→MI+→MJ (2)
Ta có: tứ giác AQMJ, BPMG, CIMH là hình bình hành
Từ (1) và (2) ⇒ 2(→MD+→ME+→MF)=→MG+→MH+→MQ+→MP+→MI+→MJ
=(→MG+→MJ)+(→MI+→MH)+(→MP+→MG)=→MA+→MC+→MB=→MO+→OA+→MO+→OC+→MO+→OB=3→MO+(→OA+→OB+→OC)=3→MO
⇒ →MD+→ME+→MF=32→MO (đpcm)