Đề II trang 106 SBT Toán Hình học 10: Chứng minh rằng...

Câu 1. (6 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}$

b) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}$ với I là trung điểm của BC;

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}$

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}$

$\eqalign{ & = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr & = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}$

$=  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}$

b) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB}$ và $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {IB}$

$=  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}$ (I là trung điểm của BC)

c) Ta có: 

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}$

$\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}$ (đúng)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 2. ( 4 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

Gợi ý làm bài

*Gọi $C({x_C};{y_C})$, ta có: $\overrightarrow {BC}  = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB}  = (2;1)$

Vì ABCD là hình vuông  

=> $\left\{ \matrix{ AB \bot BC \hfill \cr AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ 2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr {({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.$

$\eqalign{ & = > \left\{ \matrix{ {y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr {({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr & = > \left\{ \matrix{ {y_C} = 2 \hfill \cr {x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{ {y_C} = - 2 \hfill \cr {x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr}$

*Gọi $D({x_D};{y_D})$

Với C(2;2)

=>  $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr {y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_D} = 0 \hfill \cr {y_D} = 1 \hfill \cr} \right.$

Với C(4;-2)

=> $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr {y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_D} = 2 \hfill \cr {y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.$

Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).